来自 傅皓政 逻辑课程 004
- 语句：由符号组成的序列
- 命题：符号序列的意义或内容
- 语词论证：S是M，所有的P都是M，所以S是P
- 命题论证：如果P，则Q，P，所以Q
命题逻辑语言
- 命题逻辑的字符集包含下列几个部分：
- 语句（或命题）符号：\(P, Q, R, \dots\)
- 连接词：\(\lnot, \land, \lor, \to, \leftrightarrow\)
- 辅助符号：\((,)\)
- 命题逻辑语言中的句式都可以经由下列的形式规则构建之。（\(\varphi\)与\(\psi\)为句式的变量）
- 每个语句符号都是句式。
- 如果\(\varphi\)是一个句式，那么\(\lnot\varphi\)也是句式。
- 如果\(\varphi\)和\(\psi\)都是句式，那么\(\varphi\land\psi,\varphi\lor\psi,\varphi\to\psi,\varphi\leftrightarrow\psi\)也都是句式。
- 除了经由规则(1)-(3)所构建的称为句式外，没有其他句式。
每个语句符号（如\(P,Q,R\)）成为原子句式。
- 直接子句式（immediate subformulae）的定义：
- 语句符号没有直接子句式。
- 句式\(\lnot\varphi\)的直接子句式只有\(\varphi\)。
- 句式\(\varphi\land\psi, \varphi\lor\psi, \varphi\to\psi\)以及\(\varphi\leftrightarrow\psi\)的直接子句式为\(\varphi\)和\(\psi\)。
主要连接词（main connective）的定义：
连接词范围（scope）的定义：
- 优先级：
- \(\lnot\)
- \(\lor, \land\)
- \(\to, \leftrightarrow\)
语义值
- 语句的语义值为真假值。
- 语义学预设：
- 二值原则：命题具有真假值。但不能既真又假，也不能不真也不假。
- 真值函映原则：在古典逻辑中出现的语句连接词均为真值函映的关键词。
- 外延原则：复合语句的真假值是由原子语句的真假值决定，与语句本身的内容或意义无关。
- 基本真值表
| \(P\) | \(\lnot P\) |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
| \(P\) | \(Q\) | \(P \lor Q\) |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
| \(P\) | \(Q\) | \(P \land Q\) |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
| \(P\) | \(Q\) | \(P \to Q\) |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
| \(P\) | \(Q\) | \(P \leftrightarrow Q\) |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
- 恒真句（tautology）：考虑语句的所有可能情况，如果该语句在所有可能情况中均为真，若且唯若，该语句为恒真句。
- \(P\to P\)
- \(P \lor \lnot P\)
- \(P \to (Q \to P)\)
- 矛盾句（contradiction）：
- \(P \land \lnot P\)
- \(\lnot(P\to(Q \to P))\)
- \(P \leftrightarrow \lnot P\)
- 偶真句
命题之间的关系
- 蕴含关系（implication）：
- \(\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n \models \psi\) 若且唯若 \((\varphi_1 \land \varphi_2 \land \dots \land \varphi_n) \to \psi\) 为恒真句。
- \(\models \psi\) 若且唯若 \(\psi\)为恒真句。
- \(\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n \models\) 若且唯若 \(\varphi_1 \land \varphi_2 \land \dots \land \varphi_n\) 为矛盾句。
- 等值关系（equivalence）:
- \(\models \varphi \leftrightarrow \psi\)
- \(\models (P \to Q) \leftrightarrow (\lnot P \lor Q)\)
- \(\models (P \lor Q) \leftrightarrow \lnot(\lnot P \land \lnot Q)\)
- 不一致（inconsistency）
- 对句式集合\(\Gamma\), \(\Gamma\)是不一致的，若且唯若，集合中所有句式的连言是矛盾句。记为\(\Gamma \models\)
- 一致性：
- 集合中所有句式的连言不是矛盾句。记为\(\Gamma \not\models\)