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第一章 集合与映射
集合
集合（集），具有某种特定性质，具体的或抽象的对象汇集的总体。集合一般用大写字母，例如\(S,T,A,B,X,Y\)表示。集合中的一个元素一般用小写字母标识，例如\(s,t,a,b,x,y\)。一些记号
\[x \in S\] \[y \notin S\]| 正整数集合 | 整数集合 | 有理数集合 | 实数集合 |
|---|---|---|---|
| \(\mathbb{N}^+\) | \(\mathbb{Z}\) | \(\mathbb{Q}\) | \(\mathbb{R}\) |
集合的表示一般又两种方法：
- 枚举法
- 描述法
枚举法
\(\{\text{red}, \text{green}, \text{blue}\}\)
\(\mathbb{N}^+ = \{1, 2, \dots, n, \dots\}\)
\(\mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm n, \dots\}\)
描述法
\(S = \{x \vert x \text{ satisfy property } p\}\)
\(A = \{x \vert x^2 = 2\} = \{ \pm \sqrt{2}\}\)
\(Q = \{x \vert x = \dfrac{q}{p}, p \in \mathbb{N}^+, q \in \mathbb{Z}\}\)
集合没有次序关系：\(\{a,b\} = \{b,a\}\)
集合中的元素重复是没有意义的：\(\{a,b\} = \{a,a,b\}\)
空集的概念：\(\emptyset = \{\} = \{x \vert x \in \mathbb{R} \text{ and } x^2 = -1\}\)
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子集的概念：对于集合\(S,T\)，如果\(S\)的所有元素都存在于\(T\), 则\(S \subset T\)
数学逻辑上的定义：\(S \subset T\) 定义为 \(x \in S \implies x \in T\)
\(p \implies q\) 是记号 \((p \land q) \lor (\lnot p)\)
\(\mathbb{N}^+ \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
如果\(S\)中至少有一个元素不属于\(T\),则\(S\)不是\(T\)的子集，\(S \not\subset T\)
真子集：\(S \subsetneq T\)
例1.1.1： \(T=\{a,b,c\}\), 求\(T\)的子集
\[\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\]集合相等：\(S = T \iff S \subset T \text{ and } T \subset S\)
实数的集合
\((a,b) = \{x \vert x \in \mathbb{R} \text{ and } a < x < b\}\)
\((a, \infty) = \{x \vert x \in \mathbb{R} \text{ and } a < x < \infty\}\)
\([a,b] = \{x \vert x \in \mathbb{R}, \text{ and } a \le x \le b\}\)
集合的运算
| 并 | 交 | 差 | 补 |
|---|---|---|---|
| \(\cup\) | \(\cap\) | \(\backslash\) | \(S_{X}^{C}\) |
对于补运算，我们需要知道，我们在哪个总集合里讨论问题
\(S \cup T = \{x \vert x \in S \text{ or } x \in T\}\)
\(S \cap T = \{x \vert x \in S \text{ and } x \in T\}\)
\(S \backslash T = \{x \vert x \in S \text{ and } x \not\in T\}\)
\(S_{X}^{C} = S^{C} = \{x \vert x \in X \text{ and } x \not\in S\}\)
例：\(S = \{a,b,c\}, T = \{b,c,d,e\}\)
\(S \cup T = \{a,b,c,d,e\}\)
\(S \cap T = \{b,c\}\)
\(S \backslash T = \{a\}\)
交换律：
\[S \cup T = T \cup S\] \[S \cap T = T \cap S\]结合律：
\[A \cup (B \cup D) = (A \cup B) \cup D\] \[A \cap (B \cap D) = (A \cap B) \cap D\]分配律：
\[A \cap (B \cup D) = (A \cap B) \cup (A \cap D)\] \[A \cup (B \cap D) = (A \cup B) \cap (A \cup D)\]以最后一条为例，进行证明，分两步，第一步证明\(A \cup (B \cap D) \subset (A \cup B) \cap (A \cup D)\)
若\(x \in A \cup (B \cap D)\)，则或者\(x \in A\), 或者 \(x \in B \text{ 且 } x \in D\)，则\(x \in A \cup B\) 且 \(x \in A \cup D\), 也就是\(x \in (A \cup B) \cap (A \cup D)\)，所以\(A \cup (B \cap D) \subset (A \cup B) \cap (A \cup D)\)
第二步证明\(A \cup (B \cap D) \supset (A \cup B) \cap (A \cup D)\)
若\(x \in (A \cup B) \cap (A \cup D)\), 则\(x \in A \cup B\)且\(x \in A \cup D\)，那么或者\(x \in A\)，或者\(x \in B \cap D\)，也就是\(x \in A \cup (B \cap D)\)，所以\(A \cup (B \cap D) \supset (A \cup B) \cap (A \cup D)\)
对偶律(De Morgen)：
\((A \cup B)^C = A^C \cap B^C\)
\((A \cap B)^C = A^C \cup B^C\)
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有限集与无限集
\(S\) 是由\(n\)个元素组成（\(n\)是非负正整数），则\(S\)是有限集。
空集是有限集。
不是有限集的集合是无限集。
可列集：如果无限集中的元素可按某种规则排成一列，则该集成为可列集。困惑：一列列出来有重复会有问题么？感觉没有问题。
可列集：\(\mathbb{N}^+, \{x \vert \sin(x) = 0\}\)
任何一个无限集包含可列子集。但是无限集不一定是可列集。之后会证明实数集不是可列集。
定理1.1.1：可列个可列集的并也是可列集
\[\begin{align} \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n &= A_1 \cup A_2 \cup \dots A_n \cup \dots\\ &= \{x \vert \text{ 存在 } n \in \mathbb{N}^+, \text{ 使得 } x \in A_n\} \end{align}\]先把各个集合列出来
\[\begin{align} A_1&: x_{11}, x_{12}, x_{13}, \dots\\ A_2&: x_{21}, x_{22}, x_{23}, \dots\\ A_3&: x_{31}, x_{32}, x_{33}, \dots \end{align}\]然后对角线法排出大集合
定理1.1.2: 有理数集合是可列集
只需要证明\((0,1]\)上的有理数是可列集，然后可列个可列集是可列集。
笛卡尔乘积集合
P3, 27分钟